背包问题

01背包

特点:每个物品仅能使用一次

重要变量&公式解释

f[i][j]:表示所有选法集合中,只从前i个物品中选,并且总体积≤≤j的选法的集合,它的值是这个集合中每一个选法的最大值.

状态转移方程

f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i])

f[i-1][j]: 不选第i个物品的集合中的最大值

f[i-1][j-v[i]]+w[i]: 选第i个物品的集合,但是直接求不容易求所在集合的属性,这里迂回打击一下,先将第i个物品的体积减去,求剩下集合中选法的最大值.

cpp
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int v[MAXN];    // 体积
int w[MAXN];    // 价值 
int f[MAXN][MAXN];  // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值 

int main() 
{
    int n, m;   
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            //  当前背包容量装不进第i个物品，则价值等于前i-1个物品
            if(j < v[i]) 
                f[i][j] = f[i - 1][j];
            // 能装，需进行决策是否选择第i个物品
            else    
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }           

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}


// 滚动优化#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int f[MAXN];  // 

int main() 
{
    int n, m;   
    cin >> n >> m;

    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int v, w;
        cin >> v >> w;      // 边输入边处理
        for(int j = m; j >= v; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

01背包

cpp
class Solution {
public:
    int maxSatisfaction(vector<int>& satisfaction) {
        int n = satisfaction.size();
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 1));
        sort(satisfaction.begin(), satisfaction.end());
        int res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + satisfaction[i - 1] * j;
                if (j < i) {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j]);
                }
                res = max(res, dp[i][j]);
            }
        }
        return res;
    }
};

完全背包

cpp
#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int f[N][N], v[N], w[N];

int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        cin >> v[i] >> w[i];
    for(int i = 0; i <= m; i++)//初始化
    {
        f[0][i] = 0;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 0; j <= m; j ++ )
            for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++ )
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);//求出每一个 f[i][j]
    cout << f[n][m] << endl;
}

// 优化
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N];
int v[N],w[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }

    for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = v[i] ; j<=m ;j++)
    {
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }
    cout<<f[m]<<endl;
}