空间解析几何与向量代数

例一

例题一.求过点 $P(1,-1,0)$ 且与两向量 $a=(-2,-2,1)$ ， $b=(-1,0,2)$ 平行的平面方程

①根据a,b求出对应的平面法向量

$n(i, j,k) =a×b$ 得到 $n(-4,3,-2)$

②将法向量分量代入一般方程

$Ax+By+Cz+D=0 \text{得到}-4x+3y+-2z+D=0$

把P点代入得到 $D=7$

∴ 平面方程是 $-4x+3y-2z+7=0$

知识点总结：

向量的叉乘（Cross Product），也称为向量积，是三维空间中两个向量的一种特殊乘法运算。它产生第三个与前两个向量都垂直的向量，并且结果向量的长度和方向与原向量构成平行四边形的面积有关。以下是向量叉乘的主要性质和计算方法：

设有两个向量 A 和 B，它们的叉乘表示为 A × B，结果是一个向量。

设向量 A = (a1, a2, a3) 和向量 B = (b1, b2, b3)，它们的叉乘计算如下：

$A \times B = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{array} \right|$

其中，i, j, k 分别是沿 x、y、z 轴的单位向量。根据行列式的定义，计算结果为：

$A \times B = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}$

一般式: $Ax+By+Cz+D=0$

截距式: $\frac x a + \frac y b + \frac z c = 1$

点法式: $(x−x 0 )A+(y−y 0 )B+(z−z 0 )C=0$

例题二.设向量 $a=2i-4j+k,b=i-j-3k$ ,则 $a·b$ =3.

知识点： a · b = $(a_1*b_1)+(a_2*b_2)+(a_3*b_3)=(2*1)+(-4*-1)+(1*-3)=3$

例题三.球面 $x^2+y^2+z^2=14在点(1,2,3)$ 处的法线方程为

总结：

①求偏导把点带进去 ②用对称式方程得出结果

例题四.求解一条直线的方程，该直线通过点 (0,2,4) 并且与两个平面 x+2z=1 和 y-3z=2 平行。